已知:如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=3厘米,CB=4厘米.兩個動點P、Q分別從A、C兩點同時按順時針方向沿△ABC的邊運動.當點Q運動到點A時,P、Q兩點運動即停止.點P、Q的運動速度分別為1厘米/秒、2厘米/秒,設(shè)點P運動時間為t(秒).
(1)當時間t為何值時,以P、C、Q三點為頂點的三角形的面積(圖中的陰影部分)等于2厘米2;
(2)當點P、Q運動時,陰影部分的形狀隨之變化.設(shè)PQ與△ABC圍成陰影部分面積為S(厘米2),求出S與時間t的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量t的取值范圍;
(3)點P、Q在運動的過程中,陰影部分面積S有最大值嗎?若有,請求出最大值;若沒有,請說明理由.

【答案】分析:(1)由于PC=3-t,CQ=2t,∠C=90°,可表示S△PCQ,從而求出t的值;
(2)根據(jù)運動狀態(tài),分三種可能情況:①當0<t≤2時,②當2<t≤3時,③當3<t≤4.5時,分別表示陰影部分面積,在②中,S=S△ABC-S△APQ,由,∠C=90°,AC=3厘米,CB=4厘米,用勾股定理可求AB=5厘米,作PH⊥AB于H,利用相似比表示PH,再表示面積;
(3)用(2)的結(jié)論,分別求出每一種情況下的最大值(注意自變量取值范圍),再比較,求出整個過程中的最大值.
解答:解:(1)
S△PCQ=PC•CQ=(3-t)•2t=(3-t)t=2,
解得t1=1,t2=2.
∴當時間t為1秒或2秒時,S△PCQ=2厘米2;

(2)①當0<t≤2時,S△PCQ=PC•CQ=(3-t)•2t=(3-t)t,S=-t2+3t;
②當2<t≤3時,AQ=9-2t,
作PH⊥AB于H,則△AHP∽△ACB,
∴PH:BC=AP:AB
∴PH=t,
∴S=S△ABC-S△APQ,即S=t2-t+6;
③在3<t≤4.5時,CP=t-AC=t-3,則BP=BC-PC=4-(t-3)=7-t,
∵△ABC∽△PBH,
=,即=,
故PH=,
又∵BQ=2t-BC=2t-4,
∴S=BQ•PH=(2t-4)•=-t2+t-;

(3)有最大值.
①在0<t≤2時,S=-t2+3t=-(t-2+,當t=,S有最大值,S1=;
②在2<t≤3時,S=t2-t+6=(t-2+,當t=,S有最大值,S2=;
③在3<t≤4.5時,S=-t2+t-=-(t-2+,當t=,S有最大值,S3=;
∵S2<S1<S3
∴t=時,S有最大值,S最大值=
點評:本題考查了二次函數(shù)的實際運用,以時間t為自變量,面積為函數(shù),形成二次函數(shù)關(guān)系式,再求二次函數(shù)最大值;同時,滲透了分類討論的思想.
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