Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，M是x軸正半軸上一點，⊙M與x軸的正半軸交于A，B兩點，A在B的左側(cè)，且OA，OB的長是方程x²-12x+27=0的兩根，ON是⊙M的切線，N為切點，N在第四象限．
（1）求⊙M的直徑的長．
（2）如圖2，將△ONM沿ON翻轉(zhuǎn)180°至△ONG，求證△OMG是等邊三角形．
（3）求直線ON的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先解一元二次方程的得出OA，OB的長，進(jìn)而得出OM的長；
（2）利用翻折變換的性質(zhì)得出MN=GN=3，OG=OM=6，進(jìn)而得出答案；
（3）首先求出CM的長，進(jìn)而得出CN的長，即可得出OC的長，求出N點坐標(biāo)，即可得出ON的解析式．

解答：解：（1）解方程x²-12x+27=0，
（x-9）（x-3）=0，
解得：x₁=9，x₂=3，
∵A在B的左側(cè)，
∴OA=3，OB=9，
∴AB=OB-OA=6，
∴OM的直徑為6；

（2）由已知得：MN=GN=3，OG=OM=6，
∴OM=OG=MN=6，
∴△OMG是等邊三角形．

（3）如圖2，過N作NC⊥OM，垂足為C，
連結(jié)MN，則MN⊥ON，
∵△OMG是等邊三角形．
∴∠CMN=60°，∠CNM=30°，
∴CM=

1

2

MN=

1

2

×3=

3

2

，
在Rt△CMN中，
CN=

MN2-CM2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

，
∴OC=OM-CM=6-

3

2

=

9

2

，
∴N的坐標(biāo)為(

9

2

，-

3 3

2

)，
設(shè)直線ON的解析式為y=kx，
∴-

3 3

2

=

9

2

x，
∴k=-

3

3

，
∴直線ON的解析式為y=-

3

3

x．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出N點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．