Question

AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是半圓上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B都不重合），點(diǎn)C是BE延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD⊥AB，垂足為D，CD與AE交于點(diǎn)H，點(diǎn)H與點(diǎn)A不重合．
（1）求證：△AHD∽△CBD；
（2）連HO，若CD=AB=2，求HD+HO的值．

Answer 1

分析：（1）要證△AHD∽△CBD，只要證明這兩個(gè)三角形的兩組對(duì)邊的比相等，就可以證出；
（2）①設(shè)OD=x，則BD=1-x，AD=1+x，由Rt△AHD∽R(shí)t△CBD可用x表示出DH的值，在Rt△HOD中利用勾股定理可用x表示出OH的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；
②當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到使D與O重合的位置時(shí)，這時(shí)HD與HO重合，由Rt△AHO∽R(shí)t△CBO，利用對(duì)應(yīng)邊的比例式為方程，可以算出HD=HO=

1

2

，即HD+HO=1；
③當(dāng)D在OA段時(shí)BD=1+x，AD=1-x，證明同①．

解答：（1）證明：AB是⊙O的直徑
∴∠AEB=90°，則∠ABC+∠BAE=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BAE+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠ABC，
又∵∠ADH=∠CDB=90°，
∴△AHD∽△CBD．

（2）解：設(shè)OD=x，則BD=1-x，AD=1+x，
∵Rt△AHD∽R(shí)t△CBD，
則HD：BD=AD：CD，
即HD：（1-x）=（1+x）：2，
即HD=

1-x2

2

，
在Rt△HOD中，由勾股定理得：
OH=

OD2+HD2

=

x2+( 1-x2 2 )2

=

1+x2

2

，
所以HD+HO=

1-x2

2

+

1+x2

2

=1；
②當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到使D與O重合的位置時(shí)，這時(shí)HD與HO重合，由Rt△AHO∽R(shí)t△CBO，利用對(duì)應(yīng)邊的比例式為方程，可以算出HD=HO=

1

2

，即HD+HO=1；
③當(dāng)D在OA段時(shí)BD=1+x，AD=1-x，證明同①∵Rt△AHD∽R(shí)t△CBD，
則HD：BD=AD：CD，
即HD：（1-x）=（1+x）：2，
即HD=

1-x2

2

，
在Rt△HOD中，由勾股定理得：
OH=

OD2+HD2

=

x2+( 1-x2 2 )2

=

1+x2

2

，
所以HD+HO=

1-x2

2

+

1+x2

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形相似的證明方法，有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；在第二問(wèn)中根據(jù)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊的比相等，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題．