Question

已知關(guān)于x的方程x²-（q+p+1）x+p=0（q≥0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α、β，且α≤β．
（1）試用含有α、β的代數(shù)式表示p、q；
（2）求證：α≤1≤β；
（3）若以α、β為坐標(biāo)的點(diǎn)M（α、β）在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)，且△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，2），B（

1

2

，1），C（1，1），問是否存在點(diǎn)M，使p+q=

5

4

？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)樵�方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故判別式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，且α+β=p+q+1，αβ=p，于是p=αβ，q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）因?yàn)棣痢堞拢�故只需求�?-a）（1-β）≤0即可；
（3）先根據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)所在的邊，再確定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵α、β為方程x²-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴判別式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，
且α+β=p+q+1，αβ=p，
于是p=αβ，
q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0），
又α≤β，
∴a≤1≤β；
（3）若使p+q=

5

4

成立，只需α+β=p+q+1=

9

4

，
①當(dāng)點(diǎn)M（α，β）在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由B（

1

2

，1），C（1，1），
得

1

2

≤α≤1，β=1，
而α=

9

4

-β=

9

4

-1=

5

4

＞1，
故在BC邊上存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（

5

4

，1）所以不符合題意舍去；
即在BC邊上不存在滿足條件的點(diǎn)
②當(dāng)點(diǎn)M（α，β）在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由A（1，2），C（1，1），
得a=1，1≤β≤2，
此時(shí)β=

9

4

-α=

9

4

-1=

5

4

，
又因?yàn)?＜

5

4

＜2，
故在AC邊上存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，

5

4

）；
③當(dāng)點(diǎn)M（α，β）在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由A（1，2），B（

1

2

，1），
得

1

2

≤α≤1，1≤β≤2，
由平面幾何知識(shí)得

1-α

1- 1 2

=

2-β

2-1

，
于是β=2α，
由

β=2α α+β= 9 4

解得α=

3

4

，β=

3

2

，
又因?yàn)?span id="ge40om8" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2

＜

3

4

＜1，1＜

3

2

＜2，
故在AB邊上存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（

3

4

，

3

2

）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M（α，β）在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)（1，

5

4

）和點(diǎn)（

3

4

，

3

2

），使p+q=

5

4

成立．

點(diǎn)評(píng)：此題較復(fù)雜，將根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式與動(dòng)點(diǎn)問題相結(jié)合，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)．由于情況較多，需要分類討論．