Question

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)），過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF．連接AF并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF，設(shè)OD=t．
（1）求tan∠FOB的值；
（2）用含t的代數(shù)式表示△OAB的面積S；
（3）是否存在點(diǎn)B，使以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OFE相似？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)，可推出CD=OD=DE=EF=t，可求出tan∠FOB．
（2）證明△ACF∽△AOB推出得

2 2 - 2 t

2 2

=

t

OB

，然后求出OB關(guān)于t的等量關(guān)系式，繼而求出S△OAB的值．
（3）依題意要使△BEF∽△OFE，則要

OE

EB

=

EF

EF

或

OE

EF

=

EF

EB

，即分BE=2t或EB=

1

2

t兩種情況解答．當(dāng)BE=2t時(shí)，BO=4t，根據(jù)上述的線段比求出t值；當(dāng)EB=

1

2

t時(shí)也要細(xì)分兩種情況：當(dāng)B在E的右側(cè)以及當(dāng)B在E的左側(cè)時(shí)OB的取值，利用線段比求出t值．

解答：解：（1）∵A（2，2），
∴∠AOB=45°，
∴CD=OD=DE=EF=t，
∴tan∠FOB=

t

2t

=

1

2

．（3分）

（2）∵CF∥OB，
∴△ACF∽△AOB，
∴

2 2 - 2 t

2 2

=

t

OB

．
∴OB=

2t

2-t

，
∴S△OAB=

2t

2-t

(0＜t＜2)．（4分）

（3）要使△BEF與△OFE相似，
∵∠FEO=∠FEB=90°，
∴只要

OE

EB

=

EF

EF

或

OE

EF

=

EF

EB

．
即：BE=2t或EB=

1

2

t，
①當(dāng)BE=2t時(shí)，BO=4t，
∴

2t

2-t

=4t，
∴t₁=0（舍去）或t₂=

3

2

，
∴B（6，0）．（2分）
②當(dāng)EB=

1

2

t時(shí)，
（�。┊�(dāng)B在E的左側(cè)時(shí)，

OB=OE-EB=

3

2

t，
∴

2t

2-t

=

3

2

t，
∴t₁=0（舍去）或t₂=

2

3

．
∴B（1，0）．（2分）
（ⅱ）當(dāng)B在E的右側(cè)時(shí)，OB=OE+EB=

5

2

t，
∴

2t

2-t

=

5

2

t，
∴t₁=0（舍去）或t₂=

6

5

，
∴B（3，0）．（2分）
綜上，B（1，0）（3，0）（6，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及相似三角形的判定等有關(guān)知識(shí)．