Question

如圖，拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過原點和點A（4，0），頂點在直線上，P為拋物線上的一個動點．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△POA面積為5時，求點P坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點P在x軸上方時，若cos∠OPA=，⊙M經(jīng)過點O，A，P，求過A點且與⊙M相切的直線解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對稱性可知，拋物線的對稱軸為直線x=2，又頂點在直線上，即可即可求出頂點坐標(biāo)，代入即可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)△POA面積為5，可先求出點P的縱坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式即可求出點P的橫坐標(biāo)；
（3）連接MO、MA，過點M作MC⊥OA于C，設(shè)過點A的切線與y軸交于點D，可證∠OPA=∠AMC，繼而求出MC的長，再通過證明△AMC≌△DAO，得OD=AC，即可求出點D的坐標(biāo)，從而求出AD的解析式．
解答：解：（1）由對稱性可知，拋物線的對稱軸為直線x=2，
在中，當(dāng)x=2時，y=-2，
∴頂點坐標(biāo)為（2，-2），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-2，
把O（0，0）代入解得，∴，
即；
（2）∵，
∴，
又∵y_P≥2，∴，
在中，當(dāng)時，，
解得，x₁=-1，x₂=5，
∴或；

（3）如圖，連接MO、MA，過點M作MC⊥OA于C，設(shè)過點A的切線與y軸交于點D，
可證∠OPA=∠AMC，
∴，
∵MC⊥OA，
∴，
由勾股定理可得MC=4，
∵AD是⊙M的切線，∴AD⊥AM，
∴△AMC≌△DAO，
∴OD=AC=2，D（0，-2），
可求得直線AD的解析式為．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些知識并靈活運用是解答此題的關(guān)鍵．