Question

已知菱形ABCD中，∠B=60°，過(guò)D的直線與BA、BC的延長(zhǎng)線分別交于E、F兩點(diǎn)，又AF、CE交于M，
求證：CA²=CE•CM．

Answer 1

證明：∵四邊形ABCD為菱形，∠B=60°，
∴∠EAD=∠DCF=60°，并且△ABC為等邊三角形，
而∠EDA+∠CDF=120°，∠CDF+∠DFC=120°，
∴∠EDA=∠DFC，
∴△ADE∽△CFD，
∴=，而AC=AD=CD，
∴=，
又∵∠EAC=∠ACF=120°，
∴△ACE∽△CFA，
∴∠FAC=∠CEA，
而∠ACE公共，
∴△CAM∽△CEA，
∴=，
即CA²=CE•CM．
分析：由四邊形ABCD為菱形，∠B=60°，得∠EAD=∠DCF=60°，并且△ABC為等邊三角形，而∠EDA+∠CDF=120°，∠CDF+∠DFC=120°，得到∠EDA=∠DFC，則△ADE∽△CFD，得到=，而AC=AD=CD，則=，又∠EAC=∠ACF=120°，
得△ACE∽△CFA，有∠FAC=∠CEA，得到△CAM∽△CEA，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)線段的比即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊的比對(duì)應(yīng)相等且這兩邊的夾角相等，則兩個(gè)三角形相似．也考查了菱形和等邊三角形的性質(zhì)．