Question

已知：如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD=AE=2．若點(diǎn)F從點(diǎn)B開始以每秒1個單位長的速度沿射線BC方向運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動的時間為t秒．當(dāng)t＞0時，直線FD與過點(diǎn)A且平行于BC的直線相交于點(diǎn)G，GE的延長線與BC的延長線相交于點(diǎn)H，AB與GH相交于點(diǎn)O．
（1）設(shè)△EGA的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為何值時，AB⊥GH．

Answer 1

分析：（1）由GA∥BC，可得△ADG∽△BDF，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得

AG

BF

=

AD

DB

，繼而可求得AG的長，然后過點(diǎn)E作EK⊥AG于點(diǎn)K，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，可求得EK的長，繼而求得答案；
（2）首先連接DE，易得△ADE是等邊三角形，然后若AB⊥HE，則AO=OD，∠AEO=∠OED，易得△AGE是等腰三角形，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵GA∥BC，
∴∠GAD=∠B，∠AGD=∠BFD，
∴△ADG∽△BDF，
∴

AG

BF

=

AD

DB

，
∵AB=6，AD=2，
∴DB=4，
∵BF=t，
∴

AG

t

=

2

4

，
∴AG=

1

2

t，
過點(diǎn)E作EK⊥AG于點(diǎn)K，
∵∠BCA=60°，
∴∠CAK=60°，
∴∠AEK=30°，
∵AE=2，
∴AK=1，EK=

3

，
∴S=

1

2

AG•EK=

1

2

×

1

2

t×

3

=

3

4

t；

（2）連接DE，
∵AD=AE，
∵∠BAC=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
若AB⊥HE，則AO=OD，∠AEO=∠OED，
∵GA∥DE，
∴∠AGE=∠GED，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE=2，
∴

1

2

t=2，
解得：t=4，
∴當(dāng)t=4時，AB⊥GH．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．