Question

如圖，已知在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂線交BC于D，交AC于E，交BA的延長線于F．求證：BD•DC=DE•DF．

Answer 1

證明：∵DE⊥BC，
∴∠BDF=∠EDC=90°，
∴∠B+∠F=90°，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∴∠C=∠F，
∴△BDF∽△EDC，
∴BD：DE=DF：DC，
∴BD•DC=DE•DF．
分析：由DE⊥BC，可得∠BDF=∠EDC=90°，又由在△ABC中，∠BAC=90°，根據(jù)同角的余角相等，即可證得∠C=∠F，然后由有兩對角對應(yīng)相等的三角形相似，證得△BDF∽△EDC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得BD•DC=DE•DF．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．