Question

如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BC上，且PB=PE，連接PD，O為AC中點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不用說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要證PE⊥PD；從三方面分析，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上（E與B、C不重合）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別分析即可得出；
（3）利用PE=PB得出P點(diǎn)在BE的垂直平分線上，利用垂直平分線的性質(zhì)只要以P為圓心，PB為半徑畫(huà)弧即可得出E點(diǎn)位置，利用（2）中證明思路即可得出答案．
解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，
在△ABP和△ADP中，
∴△ABP≌△ADP，
∴BP=DP，
∵PB=PE，
∴PE=PD，
過(guò)點(diǎn)P做PM⊥CD，于點(diǎn)M，作PN⊥BC，于點(diǎn)N，
∵PB=PE，PN⊥BE，
∴BN=NE，
∵BN=DM，
∴DM=NE，
在Rt△PNE與Rt△PMD中，
∵PD=PE，NE=DM，
∴Rt△PNE≌Rt△PMD，
∴∠DPM=∠EPN，
∵∠MPN=90°，
∴∠DPE=90°，
故PE⊥PD，
PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為：PE=PD，PE⊥PD；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，
∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
（i）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，PE⊥PD．
（ii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖．

∵△ADP≌△ABP，
∴∠ABP=∠ADP，
∴∠CDP=∠CBP，
∵BP=PE，
∴∠CBP=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
綜合（i）（ii），PE⊥PD；

（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD=PE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和尺規(guī)作圖等知識(shí)，此題涉及到分類討論思想，這是數(shù)學(xué)中常用思想同學(xué)們應(yīng)有意識(shí)的應(yīng)用．