Question

（本題滿分10分）如圖，AB為的直徑，點C在⊙O上，點P是直徑AB上的一點（不與A，B重合），過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q．

（1）在線段PQ上取一點D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的長．

Answer 1

（1）CD與⊙O相切；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；

（2）連結AC，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，根據余弦的定義得cosB=，可計算出BC=，在Rt△BPQ中，利用余弦的定義得cosB=，可計算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC進行計算即可．

試題解析：（1）連結OC，如圖，∵OC=OB，∴∠2=∠B，∵DQ=DC，∴∠1=∠Q，∵QP⊥PB，∴∠BPQ=90°，∴∠Q+∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，∴OC⊥CD，而OC為⊙O的半徑，∴CD為⊙O的切線；

（2）連接AC，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，cosB=，而BP=6，AP=1，∴BC=，在Rt△BPQ中，cosB=，∴BQ==10，∴QC=BQ﹣BC==．

考點：切線的判定．