Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于點(diǎn)R，PS⊥AC于點(diǎn)S，PR=PS，則下列結(jié)論：①點(diǎn)P在∠A的角平分線上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正確的有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，
∴P在∠A的平分線上，故①正確；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，
∴△BPR≌△CPS，
∴AS=AR，故②正確；
∵AQ=PQ，
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正確；
由③得，△PQC是等邊三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正確，
∵①②③④都正確，
故選D．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用角平分線的性質(zhì)定理和等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．