【題目】如圖，已知和均為等腰直角三角形，，點為的中點，過點與平行的直線交射線于點．

（1）當(dāng)，，三點在同一直線上時(如圖1)，求證：為的中點；

（2）將圖1中的繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，，三點在同一直線上時(如圖2)，求證：為等腰直角三角形；

（3）將圖1中繞點旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）成立，證明見解析．

【解析】

（1）利用ASA證明，可得，易證結(jié)論；

（2）由及、為等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，由SAS可證，由全等三角形的性質(zhì)易證為等腰直角三角形；

（3）由及、為等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，由直角三角形兩銳角互余及三角形內(nèi)角和定理可知，利用證明，由全等三角形的性質(zhì)易證為等腰直角三角形.

證明：（1）∵

∴(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

∵點為的中點

∴，在和中

∴

∴

∴為的中點

（2）∵

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∵且

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴為等腰直角三角形

（3）（2）中的結(jié)論仍成立.

∵

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∵，

，

∴

∴

∵

∴

∴，

∴

∴為等腰直角三角形

練習(xí)冊系列答案
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【題目】中國扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的一個組成部分，它與竹文化、佛教文化有著密切關(guān)系．歷來中國被譽為制扇王國．扇子主要材料是：竹、木、紙、象牙、玳瑁、翡翠、飛禽翎毛、其它棕櫚葉、檳榔葉、麥桿、蒲草等也能編制成各種千姿百態(tài)的日用工藝扇，造型優(yōu)美，構(gòu)造精制，經(jīng)能工巧匠精心鏤、雕、燙、鉆或名人揮毫題詩作畫，使扇子藝術(shù)身價倍增．折扇，古稱“聚頭扇“，或稱為撒扇，或折疊扇，以其收攏時能夠二頭合并歸一而得名．如圖，折扇的骨柄OA的長為5a，扇面的寬CA的長為3a，折扇張開的角度為n°，求出扇面的面積（用代數(shù)式表示）．

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【題目】閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均為正整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把a+b化為平方式的方法．

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題．

（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分別表示a、b，則a＝　 　，b＝　 　；

（2）求7+4的算術(shù)平方根．

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（1）如圖1，當(dāng)點E在BC的延長線上，且直線EF過點D，求AB的長．

（2）若AB＝4，如圖2，取AB邊的中點P，過點P作直線EF的垂線PH，垂足為H．

① 若PH交線段BD于點G，當(dāng)△BPG為等腰三角形時，求BG的長；

② 直接寫出PH長的取值范圍．

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外接圓的圓心坐標(biāo)是______；

外接圓的半徑是______；

已知與點D、E、F都是格點成位似圖形，則位似中心M的坐標(biāo)是______；

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（3）如圖2，過點B作BD⊥AQ，垂足為D．將以點Q為圓心，QD為半徑的圓記為⊙Q．若點C到⊙Q上點的距離的最小值為8，求⊙Q的半徑．

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