已知函數(shù)f(x)=ax2+4x+b,其中a<0,a、b是實數(shù),設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=0的兩根為x1,x2,f(x)=x的兩實根為α、β.
(1)若|α-β|=1,求a、b滿足的關(guān)系式;
(2)若a、b均為負(fù)整數(shù),且|α-β|=1,求f(x)解析式;
(3)試比較(x1+1)(x2+1)與7的大小.
分析:(1)根據(jù)f(x)=x的兩實根為α、β,可列出方程用a,b表示兩根α,β,根據(jù)|α-β|=1,可求出a、b滿足的關(guān)系式.
(2)根據(jù)(1)求出的結(jié)果和a、b均為負(fù)整數(shù),且|α-β|=1,可求出a,b,從而求出f(x)解析式.
(3)因為關(guān)于x的方程f(x)=0的兩根為x1,x2,用a和b表示出(x1+1)(x2+1),討論a,b的關(guān)系可比較(x1+1)(x2+1)與7的大小的結(jié)論.
解答:解:(1)∵f(x)=x,
∴ax2+4x+b=x,
α=
-3+
9-4ab
2a
,β=
-3-
9-4ab
2a

∵|α-β|=1,
9-4ab
=|a|,
∴a2+4ab-9=0;
(2)∵a、b均為負(fù)整數(shù),a2+4ab-9=0,
∴a(a+4b)=9,解得a=-1,b=-2.
∴f(x)=-x2+4x-2.
(3)∵關(guān)于x的方程f(x)=0的兩根為x1,x2,
∴ax2+4x+b=0
∴x1x2=
b
a
,x1+x2=-
4
a

∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=
b
a
-
4
a
+1.
b
a
-
4
a
+1-7=
b-4-6a
a

∵a<0,
當(dāng)b>6a+4時,(x1+1)(x2+1)<7.
當(dāng)b=6a+4時,(x1+1)(x2+1)=7.
當(dāng)b<6a+4時,(x1+1)(x2+1)>7.
點評:本題考查二次函數(shù)的綜合運用,考查了確定函數(shù)式,方程與函數(shù)的關(guān)系,以及求一元二次方程的求根公式的應(yīng)用.
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