Question

如圖所示，已知拋物線y=x²-4x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作AP∥BC交拋物線于點(diǎn)P．
（1）求A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求四邊形ACBP的面積；
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，使A，M，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）讓y=0可得拋物線與x軸的2個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；整理二次函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式可得拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）易得AP的解析式，與拋物線解析式組成方程組，可得P的坐標(biāo)，S_{四邊形ACBP}=S_△ABP+S_△ACB，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可；
（3）易得A，M，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形和△PAC均為Rt△，用二次函數(shù)解析式設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形中不同的兩直角邊的對(duì)應(yīng)邊成比例可得M可能的坐標(biāo)．

解答：解：（1）①y=x²-4x+3令y=0，則x²-4x+3=0，
即x₁=1，x₂=3，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-l）；

（2）∵過B，C兩點(diǎn)的直線為y=x-3，AP∥BC，
∴設(shè)直線AP為y=x+b，
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴直線AP為y=x-1，②
由①②可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3），
所以，S_{四邊形ACBP}=S_△ABP+S_△ACB=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=4；

（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為M₁（0，3），M₂（

10

3

，

7

9

），M₃（6，15）．
由（1）（2）易知AP=3

2

，AC=

2

，PC=2

5

，
∴AP²+AC²=PC²，
∴△PAC為Rt△，且∠PAC=90°，
∵M(jìn)E⊥x 軸，
∴以A，M，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形也是Rt△，且∠MEA=90°，
假設(shè)點(diǎn)M是在x軸上方的拋物線上，設(shè)M為（a，a²-4a+3 ）且（a＜1或a＞3），
要使Rt△PAC和Rt△MEA相似，則有
①Rt△PAC∽R(shí)t△AEM，得

PA

AE

=

AC

EM

，
②Rt△PAC∽R(shí)t△MEA，得

PA

EM

=

AC

AE

，
而AE=|1-a|，ME=a²-4a+3，由①得|1-a|=3（a²-4a+3），
解之a1=

8

3

（舍去），a₂=1 （舍去），a3=

10

3

，a₄=1（舍去），
再由②得3|1-a|=3（a²-4a+3），
解之，a₅=0，a₆=1 （舍去），a₇=6，a₈=1（舍去），
綜上所述：存在點(diǎn)M的坐標(biāo)，即為M₁（0，3），M₂（

10

3

，

7

9

），M₃（6，15）．

點(diǎn)評(píng)：綜合考查相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的知識(shí)；分情況探討直角三角形相似的兩種情況是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)；把所求三角形的面積分成合適的兩個(gè)三角形的面積的和是常用的解題思路．