Question

已知，如圖①，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，DC=6，AB=12，BC=10．Rt△EFG（∠EGF=90°）的邊EF與BC完全重合，F(xiàn)G與BA在同一直線上．現(xiàn)將Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作勻速平移（如圖②），EF、EG分別交AC于點(diǎn)H、Q，同時(shí)點(diǎn)M以

5

2

cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，連接FM，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，Rt△EFG和點(diǎn)M都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）

（1）當(dāng)點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；
（2）判斷四邊形CHFM的形狀，并說明理由；
（3）如圖③，連接HM，設(shè)四邊形ABMH的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式及s的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)時(shí)，得出EC=3，即可得出t的值即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)首先得出四邊形CEFB是平行四邊形，進(jìn)而得出四邊形CHFM是平行四邊形；
（3）根據(jù)MN∥CR，得出

MN

CR

=

BM

BC

，進(jìn)而求出MN的長(zhǎng)，再利用三角形面積相等求出HW的長(zhǎng)，進(jìn)而利用三角形面積求出即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)時(shí)，得出E，G分別在DC，AG中點(diǎn)，
即EC=3，
∴t=1；

（2）平行四邊形　
理由：
∵Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作勻速平移，點(diǎn)M以

5

2

cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BF=3t，CE=

5

2

t，
∴

BF

AB

=

3t

12

=

t

4

，

BM

BC

=

5 2 t

10

=

t

4

，
∴

BF

AB

=

BM

BC

，
∴MF∥AC，
∵EC=BF（平移的性質(zhì)），AB∥CD，
∴四邊形CEFB是平行四邊形，
∴EF∥BC，
∴HF∥CM，CH∥MF，
∴四邊形CHFM是平行四邊形；

（3）作CR⊥AB，NM⊥AB，F(xiàn)Z⊥BM，HW⊥BC，
∴MN∥CR，
∴

MN

CR

=

BM

BC

，
∵DC=6，AB=12，BC=10，將Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作勻速平移（如圖②），EF、EG分別交AC于點(diǎn)H、Q，同時(shí)點(diǎn)M以

5

2

cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，
∴

MN

8

=

5 2 t

10

，
∴MN=2t，
∵M(jìn)N×FB=FZ×MB，
∴2t×3t=FZ×

5

2

t，
∴FZ=

12

5

t，
∴HW=

12

5

t，
∴S=S_△ABC-S_△HMC，
=48-

1

2

×

12

5

t×（10-

5

2

t），
=3t²-12t+48
=3（t-2）²+36，
∴S_最小值=36．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的面積求法以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)三角形面積公式求出S_△ABC與S_△HMC是解決問題的關(guān)鍵．