如圖,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A(-3,0),點B(1,0),交y軸于點E(0,-3).點C是點A關(guān)于點B的對稱點,點F是線段BC的中點,直線l過點F且與y軸平行.直線y=-x+m過點C,交y軸于D點.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點K為線段AB上一動點,過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H,與拋物線交于點G,求線段HG長度的最大值;
(3)在直線l上取點M,在拋物線上取點N,使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,求點N的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)把點E,A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,即可求出a、b、c的值;
(2)根據(jù)C點的坐標(biāo)求出直線CD的解析式,然后結(jié)合圖形設(shè)出K點的坐標(biāo)(t,0),表達(dá)出H點和G點的坐標(biāo),列出HG關(guān)于t的表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值;
(3)需要討論解決,①若線段AC是以點A、C,M、N為頂點的平行四邊形的邊,當(dāng)點N在點M的左側(cè)時,MN=3-n;當(dāng)點N在點M的右側(cè)時,MN=n-3,然后根據(jù)已知條件在求n的坐標(biāo)就容易了
②若線段AC是以點A、C,M、N為頂點的平行四邊形的對角線時,由“點C與點A關(guān)于點B中心對稱”知:點M與點N關(guān)于點B中心對稱,取點F關(guān)于點B的對稱點P,則P點坐標(biāo)為(-1,0)
過P點作NP⊥x軸,交拋物線于點N,結(jié)合已知條件再求n的坐標(biāo)就容易了
解答:解:(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-1)(x+3)
∵拋物線交y軸于點E(0,-3),將該點坐標(biāo)代入上式,得a=1
∴所求函數(shù)表達(dá)式為y=(x-1)(x+3),
即y=x2+2x-3;

(2)∵點C是點A關(guān)于點B的對稱點,點A坐標(biāo)(-3,0),點B坐標(biāo)(1,0),
∴點C坐標(biāo)(5,0),
∴將點C坐標(biāo)代入y=-x+m,得m=5,
∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+5,
設(shè)K點的坐標(biāo)為(t,0),則H點的坐標(biāo)為(t,-t+5),G點的坐標(biāo)為(t,t2+2t-3),
∵點K為線段AB上一動點,
∴-3≤t≤1,
∴HG=(-t+5)-(t2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+2+,
∵-3<-<1,
∴當(dāng)t=-時,線段HG的長度有最大值

(3)∵點F是線段BC的中點,點B(1,0),點C(5,0),
∴點F的坐標(biāo)為(3,0),
∵直線l過點F且與y軸平行,
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為x=3,
∵點M在直線l上,點N在拋物線上,
∴設(shè)點M的坐標(biāo)為(3,m),點N的坐標(biāo)為(n,n2+2n-3),
∵點A(-3,0),點C(5,0),
∴AC=8,
分情況討論:
①若線段AC是以點A、C,M、N為頂點的平行四邊形的邊,則需MN∥AC,且MN=AC=8.
當(dāng)點N在點M的左側(cè)時,MN=3-n,
∴3-n=8,解得n=-5,
∴N點的坐標(biāo)為(-5,12),
當(dāng)點N在點M的右側(cè)時,MN=n-3,
∴n-3=8,
解得n=11,
∴N點的坐標(biāo)為(11,140),
②若線段AC是以點A、C,M、N為頂點的平行四邊形的對角線,由“點C與點A關(guān)于點B中心對稱”知:點M與點N關(guān)于點B中心對稱,取點F關(guān)于點B的對稱點P,則P點坐標(biāo)為(-1,0)
過P點作NP⊥x軸,交拋物線于點N,
將x=-1代入y=x2+2x-3,得y=-4,
過點N作直線NM交直線l于點M,
在△BPN和△BFM中,
∠NBP=∠MBF,
BF=BP,
∠BPN=∠BFM=90°,
∴△BPN≌△BFM,
∴NB=MB,
∴四邊形ANCM為平行四邊形,
∴坐標(biāo)(-1,-4)的點N符合條件,
∴當(dāng)N的坐標(biāo)為(-5,12),(11,140),(-1,-4)時,以點A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形.
點評:本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式函數(shù)圖象交點的求法等知識點、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點,主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.綜合性強,考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
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8、如圖,直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+c的圖象在同一坐標(biāo)系中可能是( 。

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如圖,拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點P(-
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),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點.
(1)求a值;
(2)設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(點M在點N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F(xiàn)兩點(點E在點F的左邊),觀察M,N,E,F(xiàn)四點的坐標(biāo),寫出一條正確的結(jié)論,并通過計算說明;
(3)設(shè)A,B兩點的橫坐標(biāo)分別記為xA,xB,若在x軸上有一動點Q(x,0),且xA≤x≤xB,過Q作一條垂直于x軸的直線,與兩條拋物線分別交于C,D精英家教網(wǎng)兩點,試問當(dāng)x為何值時,線段CD有最大值,其最大值為多少?

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如圖,拋物線y=-ax2+ax+6a交x軸負(fù)半軸于點A,交x軸正半軸于點B,交y軸正半軸于點D,精英家教網(wǎng)O為坐標(biāo)原點,拋物線上一點C的橫坐標(biāo)為1.
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(2)求證:四邊形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

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已知:如圖,拋物線的頂點為點D,與y軸相交于點A,直線y=ax+3與y軸也交于點A,矩形ABCO的頂點B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點的一個動圓,當(dāng)⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點的距離為4時,求圓心P的坐標(biāo);
(3)若線段DO與AB交于點E,以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似,如果有可能,請求出點D坐標(biāo)及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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已知:如圖,拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點C(0,-2),精英家教網(wǎng)與x軸交于點A、B,點A的坐標(biāo)為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)M是線段OB上一動點,N是線段OC上一動點,且ON=2OM,分別連接MC、MN.當(dāng)△MNC的面積最大時,求點M、N的坐標(biāo);
(3)若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P,與線段AC交于點F,點D的坐標(biāo)為(-1,0).問:是否存在直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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