Question

如圖，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，CD平分∠ACB，P為AB中點，則下列各式中正確的是

1. A.
   AD=BC-CD
2. B.
   AD=BC-AC
3. C.
   AD=BC-AP
4. D.
   AD=BC-BD

Answer 1

B
分析：可在BC上截取CA′=CE，連接DE，可得△ACD≌△EC′D，即CE=AC，進而再通過角之間的轉化得出線段之間的關系．
解答：解：因為∠A=2∠B，
所以∠A＞∠B，
所以BC＞AC．
在BC上截取CA′=CE，連接DE′（如圖），
易證△ACD≌△EC′D，
所以AD=ED，且∠CED=∠A=2∠B，
又∠CED=∠B+∠EDB，
所以∠B=∠EDB，
所以AD=ED=EB，
所以BC=E′C+E′B=AC+AD，
所以AD=BC-AC．
故此題選B．
注意到：若AD=BC-CD，則CD=BC-AD=A′C=AC，
此時∠CDA′=∠CDA=∠A=2∠B，
所以∠ADA′=4∠B，
又∠ADA′+∠2=4∠B+∠B=180°，
所以∠B=36°，
所以∠C=72°，
與已知矛盾，故A排除，易證BD＞BA′=AD，所以PB＜BD，PA＞AD．
所以AD＜BC-AP，排除C，AD＞BC-BD，排除D．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質，能夠運用其性質求解一些簡單的計算問題．