Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.

 (1)求證：EO＝FO；

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

(3)在(2)的條件下，當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？

Answer 1

【解析】證明：(1)∵MN∥BC，∴∠FEC＝∠BCE.

∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE，∴∠FEC＝∠ACE，

∴OE＝OC.同理可證OF＝OC，∴OE＝FO.

(2)當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，

∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝×180°＝90°.

由(1)得OE＝OF，又∵O為AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO.

∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵∠ECF＝90°，

∴四邊形AECF是矩形．

(3)當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°時(shí)，在(2)的條件下，四邊形AECF是正方形．