Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，其坐標(biāo)為t，

①設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸l與x軸交于一點(diǎn)E，連接PE，交CD于F，求出當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②是否存在一點(diǎn)P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）①P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，4）或（﹣2，3）。

②當(dāng)t=﹣時(shí)，S_△PCD的最大值為。

【解析】

分析：（1）先求出A、B、C的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法就可以直接求出二次函數(shù)的解析式。

（2）①由（1）的解析式可以求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，分類(lèi)討論當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出P點(diǎn)的坐標(biāo)。

②先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)CD的解析式，設(shè)PM與CD的交點(diǎn)為N，根據(jù)CD的解析式表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN就可以表示出三角形PCD的面積，運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論。

解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，，∴OB=3OA=3．。

∵△DOC是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB�！郞C=OB=3，OD=OA=1。

∴A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，3）（﹣3，0）．

代入解析式得，解得：。

∴拋物線(xiàn)的解析式為。

（2）①∵，∴對(duì)稱(chēng)軸l為x=﹣1。

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0）。

當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，△CEF∽△COD．此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，即點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，P（﹣1，4）。

當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，△CFE∽△COD，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則△EFC∽△EMP。

∴。∴MP=3EM．。

∵P的橫坐標(biāo)為t，∴P（t，）。

∵P在二象限，∴PM=，EM=，

∴，解得：t₁=﹣2，t₂=﹣3（與C重合，舍去）。

∴t=﹣2時(shí)，。

∴P（﹣2，3）。

綜上所述，當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，4）或（﹣2，3）。

②設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=kx+b，由題意，得

，解得：。

∴直線(xiàn)CD的解析式為：y=x+1。

設(shè)PM與CD的交點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，t+1），∴NM=t+1。

∴。

∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，

∴。

∴當(dāng)t=﹣時(shí)，S_△PCD的最大值為。