Question

（2005•桂林）已知∠MON=90°，等邊三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A是射線OM上的一定點(diǎn)，頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)C在∠MON內(nèi)部．
（1）當(dāng)頂點(diǎn)B在射線ON上移動(dòng)到B₁時(shí)，連接AB₁，請(qǐng)?jiān)凇螹ON內(nèi)部作出以AB₁為一邊的等邊三角形AB₁C₁（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（2）設(shè)AB₁與OC交于點(diǎn)Q，AC的延長(zhǎng)線與B₁C₁交于點(diǎn)D．求證：△ACQ∽△AB₁D；
（3）連接CC₁，試猜想∠ACC₁為多少度？并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別以A、B₁為圓心，AB₁為半徑，作弧在∠MON內(nèi)部交于C₁；
（2）兩三角形有一公共角，且∠ACQ=∠AB₁D=60°，即可證明△ACQ∽△AB₁D；
（3）猜測(cè)∠ACC₁=90°，證明△AOB₁≌△ACC₁最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可求出．
解答：解：（1）作圖如圖．

（2）∵∠CAQ=∠B1AD，∠ACQ=∠AB₁D=60°，
∴△ACQ∽△AB₁D（AA）．

（3）猜測(cè)∠ACC₁=90°．
∵OA=AC，∠OAB₁=∠CAC₁=60°-∠CAQ，AB1=AC1，
∴△AOB₁≌△ACC₁（SAS），
∴∠ACC₁=∠AOB₁=90°．
故∠ACC₁為90度．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等邊三角形的作法以及等邊三角形的性質(zhì)在三角形相似和全等中的應(yīng)用．