Question

如圖，已知Rt△ABC的頂點(diǎn)A是一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且S_△AOB=3．
（1）該一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式是否能完全確定如能確定，請(qǐng)寫(xiě)出它們的解析式；如不能確定，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如果線段AC的延長(zhǎng)線與反比例函數(shù)的圖象的另一支交于D點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥x軸于E，那么△ODE的面積與△AOB的面積的大小關(guān)系能否確定？
（3）請(qǐng)判斷△AOD為何特殊三角形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）設(shè)B（x₀，0），則，其中x₀＞0，m＞0，
在Rt△ABO中，，
則，即m=6，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+6，
∴反比例函數(shù)的解析式為；

（2）由得x²+6x-6=0，
解得：，
∴，
由反比例函數(shù)的定義可知，對(duì)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)P（x，y），有，即xy=6，
∴S_△DEO=×OE×DE=×6=3，
即S_△DEO=S_△AOB；

（3）由，
可得，
即AO=DO，
∵∠AOD＞90°，
∴△AOD為鈍角等腰三角形．
分析：（1）根據(jù)S_△AOB=3可以求出反比例函數(shù)的解析式，求出m的值，則一次函數(shù)的解析式也相應(yīng)求出；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，就可以通過(guò)解方程組求出函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)．進(jìn)而得到兩個(gè)三角形的面積；
（3）根據(jù)A、D的坐標(biāo)，可以求出AO、DO的長(zhǎng)，就可以判斷三角形的形狀．
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，作x軸的垂線，垂線，x軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線構(gòu)成的三角形，與反比例函數(shù)的解析式的關(guān)系．是本題的考查的一個(gè)重點(diǎn)．