【答案】
分析:(1)先根據(jù)勾股定理求出OA的長(zhǎng),即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo),再求出OE、BE的長(zhǎng)即可求出B的坐標(biāo);
(2)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,求出a的值,即可求出拋物線的解析式;
(3)先求出點(diǎn)D的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式,然后求出CF的長(zhǎng),再根據(jù)S
△DBC=S
△CEB+S
△CED進(jìn)行計(jì)算即可;
(4)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形:
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn);則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P
1,使得P
1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP
1,過(guò)點(diǎn)P
1作P
1M⊥x軸,由全等三角形的判定定理可得△MP
1C≌△FBC,再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出點(diǎn)P
1點(diǎn)的坐標(biāo);
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn);則過(guò)點(diǎn)A作AP
2⊥CA,且使得AP
2=AC,得到等腰直角三角形△ACP
2,過(guò)點(diǎn)P
2作P
2N⊥y軸,同理可證△AP
2N≌△CAO,由全等三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P
2的坐標(biāo);點(diǎn)P
1、P
2的坐標(biāo)代入拋物線的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可.
解答:解:(1)∵C(-1,0),AC=
,
∴OA=
=
=2,
∴A(0,2);
過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸,垂足為F,
∵∠ACO+∠CAO=90°,∠ACO+∠BCF=90°,∠BCF+∠FBC=90°,
在△AOC與△CFB中,
∵
,
∴△AOC≌△CFB,
∴CF=OA=2,BF=OC=1,
∴OF=3,
∴B的坐標(biāo)為(-3,1),
故答案為:(0,2),(-3,1);
(2)∵把B(-3,1)代入y=ax
2+ax-2得:
1=9a-3a-2,
解得a=
,
∴拋物線解析式為:y=
x
2+
x-2.
故答案為:y=
x
2+
x-2;
(3)由(2)中拋物線的解析式可知,拋物線的頂點(diǎn)D(-
,-
),
設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=kx+b,將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入得:
,
解得
.
∴BD的關(guān)系式為y=-
x-
.
設(shè)直線BD和x 軸交點(diǎn)為E,則點(diǎn)E(-
,0),CE=
.
∴S
△DBC=
×
×(1+
)=
;
(4)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形:
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn);
則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P
1,使得P
1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP
1,
過(guò)點(diǎn)P
1作P
1M⊥x軸,
∵CP
1=BC,∠MCP
1=∠BCF,∠P
1MC=∠BFC=90°,
∴△MP
1C≌△FBC.
∴CM=CF=2,P
1M=BF=1,
∴P
1(1,-1);
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn);
則過(guò)點(diǎn)A作AP
2⊥CA,且使得AP
2=AC,得到等腰直角三角形△ACP
2,
過(guò)點(diǎn)P
2作P
2N⊥y軸,同理可證△AP
2N≌△CAO,
∴NP
2=OA=2,AN=OC=1,
∴P
2(2,1),
經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)P
1(1,-1)與點(diǎn)P
2(2,1)都在拋物線y=
x
2+
x-2上.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到全等三角形的判定定理、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.