Question

先閱讀，再填空解答：
方程x²-3x-4=0的根為x₁=-1，x₂=4，x₁+x₂=3，x₁x₂=-4；
方程3x²+10x+8=0的根為．
（1）方程2x²+x-3=0的根是x₁=______，x₂=______，x₁+x₂=______，x₁x₂=______．
（2）若x₁，x₂是關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個實數(shù)根，那么x₁+x₂，x₁x₂與系數(shù)a、b、c的關系是：x₁+x₂=______，x₁x₂=______．
（3）當你輕松解決以上問題時，試一試下面這個問題：甲、乙兩同學解方程x²+px+q=0時，甲看錯了一次項系數(shù)，得根2和7，乙看錯了常數(shù)項，得根1和-10，則原方程中的p、q到底是多少？你能寫出原來的方程嗎？

Answer 1

解：（1）2x²+x-3=0，
（2x+3）（x-1）=0，
∴x₁=-，x₂=1，
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=-；
（2）x₁+x₂=-，x₁•x₂=；
（3）∵甲看錯了一次項系數(shù)，得根2和7，
∴q=2×7=14，
∵乙看錯了常數(shù)項，得根1和-10，
∴-p=1+（-10），
∴p=9，
∴原方程為x²+9x+14=0．
故答案為-，1；-，-；x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
分析：（1）利用因式分解法得到（2x+3）（x-1）=0，則x₁=-，x₂=1，即可計算出x₁+x₂=-，x₁x₂=-；
（2）利用求根公式可計算出x₁+x₂=-，x₁•x₂=；
（3）由于甲看錯了一次項系數(shù)，得根2和7，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到q=2×7=14，乙看錯了常數(shù)項，得根1和-10，則-p=1+（-10），解得p=9，
于是原方程為x²+9x+14=0．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了因式分解法解一元二次方程．