Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2．
（1）直線L：y=-x+2是否經(jīng)過拋物線的頂點；
（2）設該拋物線與x軸交于M、N兩點，當OM•ON=4，且OM≠ON時，求出這條拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將y=-x²+2mx-m²-m+2配方得出頂點坐標，即可得出直線y=-x+2是否經(jīng)過二次函數(shù)的頂點坐標；
（2）利用根與系數(shù)的關系得出x₁•x₂=m²+m-2，再得出|x₁•x₂|=4，進而得出m的值，求出二次函數(shù)解析即可．
解答：解：（1）將y=-x²+2mx-m²-m+2配方得：
y=-（x-m）²-m+2，
由此可知，拋物線的頂點坐標是：
（m，-m+2），
把x=m代入y=-x+2得：
y=-m+2，
顯然直線y=-x+2經(jīng)過拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2的頂點；

（2）設M、N兩點的橫坐標分別為x₁，x₂，則x₁，x₂是方程，
-x²+2m-m²-m+2=o的兩個實數(shù)根，
∴x₁•x₂=m²+m-2，
∵OM•ON=4，
即|x₁•x₂|=4，
∴m²+m-2=±4，
當m²+m-2=4時，
解得m₁=-3，m₂=2，
當m=2時，可得：
OM=ON不合題意，
所以m=-3，
當m²+m-2=-4時，
方程設有實數(shù)根，
因此所求的拋物線的解析式只能是：
y=-x²-6x-4．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)解析式求出二次函數(shù)的頂點坐標是考查重點同學們應重點掌握．