Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸、y軸分別相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．

（1）求：經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）求四邊形ABDC的面積；

（3）試判斷△BCD與△COA是否相似？若相似寫出證明過程；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) y=-x²+2x+3；(2)9；（3）相似，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，由待定系數(shù)可求出拋物線解析式；

（2）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，作輔助線把四邊形ABDC的面積拆為二個(gè)三角形面積加上一梯形的面積，從而求出四邊形ABDC的面積；

（3）判斷△BCD與△COA是否相似，驗(yàn)證是否滿足相似比例關(guān)系．

試題解析：（1）由題意，得

，

解之，得

，

∴y=-x²+2x+3；

（2）由（1）可知y=-（x-1）²+4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4），

設(shè)其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，

∵S_△AOC=|AO|•|OC|，

=×1×3，

=，

S_梯形OEDC=（|DC|+|DE|）×|OE|，

=（3+4）×1，

=，

S_△DEB=|EB|•|DE|，

=×2×4，

=4，

S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△DEB，

=++4，

=9；

（3）△DCB與△AOC相似，（9分）

證明：過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為F，

∵D（1，4），F(xiàn)（0，4），

∴Rt△DFC中，DC=，且∠DCF=45°，

在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=3，

∴∠AOC=∠DCB=90°，

，

∴△DCB∽△AOC．

考點(diǎn): 1.二次函數(shù)綜合題；2.相似三角形的判定與性質(zhì).