Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，．若動點D在線段AC上（不與點A、C重合），過點D作DE⊥AC交AB邊于點E．
（1）當點D運動到線段AC中點時，DE=　　；
（2）點A關(guān)于點D的對稱點為點F，以FC為半徑作⊙C，當DE=　　時，⊙C與直線AB相切．

Answer 1

；或

（1）求出BC，AC的值，推出DE為三角形ABC的中位線，求出即可；
（2）求出AB上的高，CH，即可得出圓的半徑，證△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．
解：（1）∵∠C=90°，∠A=30°，，
∴BC=AB=，AC=6，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵D為AC中點，
∴E為AB中點，
∴DE=BC=，
故答案為：；
（2）過C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，BC=，AB=，AC=6，
∴由三角形面積公式得： BC•AC=AB•CH， CH=3，
分為兩種情況：
①如圖1，

∵CF=CH=3，
∴AF=6﹣3=3，
∵A和F關(guān)于D對稱，
∴DF=AD=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴=，
DE=；
②如圖2，

∵CF=CH=3，
∴AF=6+3=9，
∵A和F關(guān)于D對稱，
∴DF=AD=4.5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴=，
DE=；
故答案為：或