Question

有一個矩形ABCD，A在原點，C在y=

3

4

x的圖象上，如圖（1），AB=8．矩形ABCD沿射線AC的方向以每秒1的速度平移，同時，一個動點P從B點出發(fā)以每秒1的速度沿平移中的矩形的邊B-C-D運動．
（1）求平移中的矩形ABCD的對稱中心K到原點的距離y關(guān)于運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求運動時間為5秒時P點的坐標(biāo)；
（3）若作PM⊥x軸，PN⊥y軸，是否在某一時刻，使矩形OMPN與矩形ABCD相似？若有，求出來；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先求出初始距離，再求移動到某一位置時到原點的距離；
（2）運動時間為5秒時A的坐標(biāo)為（4，3），又因此時P在線段BC上，PB=5，AB=8，所以P（8+4，3+5）；
（3）因為某一時刻，矩形OMPN與矩形ABCD相似，所以可設(shè)運動時間為t秒，因為動點P從B點出發(fā)以每秒1的速度沿平移中的矩形的邊B-C-D運動，所以需分情況討論．

解答：解：（1）∵C在y=

3

4

x的圖象上，AB=8，
∴AC=10，所以矩形ABCD的對稱中心即對角線的交點到原點的距離為5．
又因矩形ABCD沿射線AC的方向以每秒1的速度平移，
所以平移中的矩形ABCD的對稱中心K到原點的距離y關(guān)于運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=t+5；（2分）

（2）運動時間為5秒時A的坐標(biāo)為（4，3），又因此時P在線段BC上，PB=5，AB=8，所以P（8+4，3+5），
即P（12，8）；（5分）

（3）設(shè)運動時間為t秒．
當(dāng)0≤t≤6時，（P在BC上）P(8+

4

5

t，t+

3

5

t)

8+ 4 5 t

t+ 3 5 t

=

4

3

時，t=6；（7分）

8+ 4 5 t

t+ 3 5 t

=

3

4

時，t=20（舍）．（9分）
當(dāng)6≤t≤14時，（P在CD上）P(14-

1

5

t，6+

3

5

t)

14- 1 5 t

6+ 3 5 t

=

4

3

時，t=6；（10分）

14- 4 5 t

6+ 3 5 t

=

3

4

時，t=

190

3

（舍）．（11分）
因此，只有t=6時矩形OMPN與矩形ABCD相似．（12分）

點評：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用相似三角形的性質(zhì)來解決問題，但應(yīng)注意解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．