Question

如圖，線段AB=1，點(diǎn)C在線段AB上，以AC為半徑的⊙A與以CB為半徑的⊙C相交于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線與⊙A相交于點(diǎn)E，CD、AE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠ADB=3∠B；
（2）設(shè)⊙C的半徑為x，EF的長(zhǎng)為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；
（3）點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)的過(guò)程中，⊙C能否與AE相切？如果能夠，請(qǐng)求出這時(shí)⊙C的半徑；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得出，∠ACD=2∠B，再根據(jù)AC=AD，得∠ADC=∠ACD=2∠B，從而得出∠ADB=3∠B；
（2）由題意得出∠FED=∠ADB=3∠B，可證明△ACD∽△FAC，則=，代入數(shù)值即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，
（3）先判斷，⊙C能與AE相切，設(shè)切點(diǎn)為G，連接CG，則∠AGC=90°，由勾股定理得AG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AC，垂足為H．在Rt△FAH中，由三角函數(shù)求出x即可．
解答：解：（1）∵點(diǎn)B、D在⊙C上，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠B．（1分）
∴∠ACD=2∠B．（1分）
∵點(diǎn)C、D在⊙A上，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=2∠B．（1分）
∵∠ADB=∠CDB+∠ADC，
∴∠ADB=3∠B．（1分）

（2）∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE．
∴∠FED=∠ADB=3∠B．（1分）
∵∠FAC=∠FED-∠B，
∴∠FAC=2∠B=∠ADC=∠FCA．（1分）
∴△ACD∽△FAC，
∴=． （1分）
∵BC=CD=x，
∴AE=AC=1-x，AF==，（1分）
∴．（1分）
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（3）如圖，⊙C能與AE相切，設(shè)切點(diǎn)為G，
連接CG，則∠AGC=90°．
在Rt△ACG中，．
．（1分）
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AC，垂足為H．在Rt△FAH中，
∵△ACD∽△FAC，AC=AD，
∴AF=CF，
∴AH=AC，
cos∠FAH=．（1分）
∴，（1分）
（負(fù)值舍去）．（1分）
∴⊙C的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，相交兩圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)以及勾股定理，是中考?jí)狠S題，難度較大．