Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AP交邊CD于點(diǎn)E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點(diǎn)Q，設(shè)CP=x，DQ=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APQ的面積是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)求出△APQ的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)以4為半徑的⊙Q與直線AP相切，且⊙A與⊙Q也相切時(shí)，求⊙A的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)知：∠QAD=∠DAE=∠APB，由此可證得△QAD∽△APB，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）由翻折的性質(zhì)易證得△ADE≌△ADQ，可得QD=DE，即QE=2y，而△AQP的面積可由QE•BP的一半（即QD•BP）求得，由（1）知，QD•BP為定值即12，因此△APQ的面積是不會(huì)變化的．
（3）若⊙Q與直線AP相切，且半徑為4，根據(jù)△APQ的面積即可求得AP的長(zhǎng)，進(jìn)而可得∠APB、∠QAD的度數(shù)，從而根據(jù)AD的長(zhǎng)求得AQ的值；然后分⊙A與⊙Q內(nèi)切、外切兩種情況分類求解即可．
解答：解：（1）在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
又由題意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，（1分）
∴，即，
∴，（1分）
定義域?yàn)閤＞0．（1分）

（2）不發(fā)生變化（1分）
證明如下：
∵∠QAD=∠DAP，∠ADE=∠ADQ=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；（1分）
∴S_△APQ=S_△AEQ+S_△EPQ=QE•AD+QE•CP=QE（AD+CP）=QE•BP=DQ•BP=y×（x+4）=12；
所以△APQ的面積沒(méi)有變化．

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AP于點(diǎn)F
∵以4為半徑的⊙Q與直線AP相切，
∴QF=4（1分）
∵S_△APQ=12，
∴AP=6（1分）
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°（1分）
∴∠PAQ=60°，此時(shí)AD=4，DE=，
∴AQ=EQ=2DE=（1分）
設(shè)⊙A的半徑為r，
∵⊙A與⊙Q相切，
∴⊙A與⊙Q外切或內(nèi)切．
（i）當(dāng)⊙A與⊙Q外切時(shí)，AQ=r+4，即=r+4，
∴r=．（1分）
（ii）當(dāng)⊙A與⊙Q內(nèi)切時(shí)，AQ=r-4，即=r-4，則r=+4
綜上所述，⊙A的半徑為或．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的翻折變換、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的求法以及圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．