Question

國家環(huán)保部發(fā)布的（環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)）規(guī)定：居民區(qū)的PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米．PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米，某市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年若干天PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，并統(tǒng)計如下：

PM濃度（微克/立方米）	日均值	頻數(shù)（天）	頻率
0＜x＜2.5	12.5	5	0.25
2.5＜x＜50	37.5	a	0.5
50＜x＜75	62.5	b	c
75＜x＜100	87.5	2	0.1

 
（1）求出表中a、b、c的值，并補全頻數(shù)分布直方圖．
（2）從樣本里PM2.5的24小時平均濃度不低于50微克/立方米的天數(shù)中，隨機抽取兩天，求出“恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度不低于75微克/立方米”的概率．
（3）求出樣本平均數(shù)，從PM2.5的年平均濃度考慮，估計該區(qū)居民去年的環(huán)境是否需要改進？說明理由．

Answer 1

解：（1）∵被抽查的天數(shù)為：5÷0.25=20天，
∴a=20×0.5=10，b=20﹣5﹣10﹣2=20﹣17=3，c=1﹣0.25﹣0.5﹣0.1=1﹣0.85=0.15。
補全統(tǒng)計圖如圖所示：

（2）設(shè)50＜x＜75的三天分別為A1、A2、A3，75＜x＜100的兩天分別為B1、B2，
根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：

∵一共有20種情況，“恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度不低于75微克/立方米”的有12種情況，
∴“恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度不低于75微克/立方米”的概率為。
（3）平均濃度為：（微克/立方米），
∵40＞35，
∴從PM2.5的年平均濃度考慮，該區(qū)居民去年的環(huán)境需要改進。

試題分析：（1）先根據(jù)第一組的頻數(shù)與頻率求出被抽查的天數(shù)，然后乘以頻率0.5求出a，再求出b，根據(jù)頻率之和等于1求出c。
（2）設(shè)50＜x＜75的三天分別為A1、A2、A3，75＜x＜100的兩天分別為B1、B2，然后畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式列式計算即可得解。
（3）利用加權(quán)平均數(shù)的求解方法，列式進行計算，然后與PM2.5的年平均濃度標(biāo)準(zhǔn)比較即可得解。