Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F．

（1）判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

（2）若過A點(diǎn)且與BC平行的直線交BE的延長線于G點(diǎn)，連結(jié)CG．當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，求∠AGC的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）連結(jié)AD，OD．

∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC．………………………1分

∵△ABC是等腰三角形，∴BD＝DC．…………………2分

又∵AO＝BO，∴OD∥AC．    ………………………3分

∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．又∵D是⊙O上的點(diǎn)，

∴DF是⊙O的切線．         ………………………5分

（2）∵AB是⊙O的直徑，∴BG⊥AC．

∵△ABC是等邊三角形，∴BG是AC的垂直平分線．

∴GA＝GC．………………………7分

又∵AG∥BC，∠ACB＝60°，∴∠CAG＝∠ACB＝60°．

∴△ACG是等邊三角形．∴∠AGC＝60°．………………………9分