Question

如圖，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O上一點，且PA=PB，連接BO并延長與切線PA相交于點Q．求證：
（1）PB是⊙O的切線；
（2）AQ•PQ=OQ•BQ．

Answer 1

證明：（1）連結(jié)OA、OP，如圖，
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切線；

（2）∵∠OBP=∠OAP=90°，
而∠AQO=∠BQP，
∴Rt△PBQ∽Rt△OAQ，
∴PQ：OQ=BQ：AQ，
∴AQ•PQ=OQ•BQ．
分析：（1）連結(jié)OA、OP，由PA是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAP=90°，則可根據(jù)“SSS”判斷△PAO≌△PBO，則∠OBP=∠OAP=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到PB是⊙O的切線；
（2）由于∠AQO=∠BQP，根據(jù)三角形相似的判定可得到Rt△PBQ∽Rt△OAQ，由相似的性質(zhì)得PQ：OQ=BQ：AQ，然后根據(jù)比例性質(zhì)即可得到結(jié)論．
點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．