Question

如圖1，我們將相同的兩塊含30°角的直角三角板Rt△DEF與Rt△ABC疊合，使DE在AB上，DE過點(diǎn)C，已知AC=DE=6．
（1）將圖1中的△DEF繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)（DF與AB不重合），使邊DF、DE分別交AC、BC于點(diǎn)P、Q，如圖2．
①求證：△CQD∽△APD；
②連接PQ，設(shè)AP=x，求面積S_△PCQ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將圖1中的△DEF向左平移（點(diǎn)A、D不重合），使邊FD、FE分別交AC、BC于點(diǎn)M、N設(shè)AM=t，如圖3．
①判斷△BEN是什么三角形？并用含t的代數(shù)式表示邊BE和BN；
②連接MN，求面積S_△MCN關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中，試探求AC上是否存在點(diǎn)P，使得S_△PCQ等于平移所得S_△MCN的最大值？說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）①易得∠BCD=∠A=60°，∠ADP=∠CDE，那么可得△CQD∽△APD②利用相似可得CQ=

3

x，那么PC=6-x．可表示出S_△PCQ
（2）①由外角∠FEN=60°，∠B=30°，可得∠BNE=30°，∴NE=BN，那么△BEN是等腰三角形．易得AD=

1

2

t，AB=12，那么BE=12-AD-DE=6-

1

2

t．過E作EG⊥BN于點(diǎn)G．利用30°的三角函數(shù)可求得BG，進(jìn)而求得BN
②容易利用t表示出MC、CN，即可表示出所求面積
（3）利用二次函數(shù)的最值表示出S_△MCN的最大值，讓前面所求的面積的代數(shù)式等于即可．

解答：解：（1）①證明：∵∠F=∠B=30°，∠ACB=∠BDF=90°∴∠BCD=∠A=60°，∵∠ADP+∠PDC=90°，∠CDE+∠PDC=90°∴△CQD∽△APD
②∵在Rt△ADC中，AD=3，DC=3

3

又∵△CQD∽△APD，CQ=

3

x．
∴S_△PCQ=-

3

2

x²+3

3

x

（2）①△BEN是等腰三角形．BE=6-

1

2

t，BN=

3

（6-

1

2

t）．
②S_△MCN=

1

2

（6-t）×

3

2

t=-

3

4

[（t-3）²-9]

（3）存在．
由題意建立方程-

3

2

x²+3

3

x=

9 3

4

解得X=

6+3 2

2

或

6-3 2

2

即當(dāng)AP=

6+3 2

2

或AP=

6-3 2

2

時，S_△PCQ等于S_△MCN的最大值．

點(diǎn)評：用到的知識點(diǎn)為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊成比例．