Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD⊥BC于D．
（1）求證：AC+CD=BD；
（2）E為BD的中點，CE：AC=7：5，點F在BC上，∠EAF=2∠B，過點C作CG⊥AE于點G，交AD于點H，交AF于點P，若DF=．求線段PH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）在BD上取點M，使DM=CD，然后判斷AD是CM的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=AC，從而得到∠C=∠AMC，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠AMC=∠B+∠BAM，然后求出∠B=∠BAM，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AM=BM，再根據(jù)BD=BM+MD整理即可得證；
（2）設(shè)CE為7a，則AC為5a，先表示出CD，再根據(jù)（1）的結(jié)論與E是BD的中點表示出BD，整理后用a表示出BD，然后求出ED、CD和AD，再判斷出△AED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出AE，然后求出△AEF和△CEA相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解得到a的值，從而得到AE的值，再求出EG的值，然后得到AG的值，從而得到GH，再利用∠EAF和∠ACD的正切值相等列式求出PG的長，然后根據(jù)PH=PG-GH計算即可得解．
解答：（1）證明：如圖，在BD上取點M，使DM=CD，
∵DM=CD，且AD⊥BC，
∴AD為CM的垂直平分線，
∴AM=AC，
∴∠C=∠AMC，
∴∠C=2∠B，
∴∠AMC=2∠B，
∵∠AMC=∠B+∠BAM，
∴∠B=∠BAM，
∴AM=BM，
∴BD=BM+MD，
∴BD=AC+CD；

（2）解：設(shè)CE為7a，則AC為5a，
∵E為BD的中點，
∴CD=7a-BD，
∵BD=AC+CD，
∴BD=5a+7a-BD，
解得BD=8a，
∴ED=BD=×8a=4a，
∴CD=CE-ED=7a-4a=3a，
在Rt△ACD中，AD===4a，
∴△AED是等腰直角三角形，
AE=AD=4a，
∵∠EAF=2∠B，∠ACB=2∠B，
∴∠EAF=∠ACB，
又∵∠AEC=∠FEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴=，
即=，
解得a=1，
∴CE=7，AD=ED=4，AE=4，
∵△AED為等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°，
∵CG⊥EA，
∴EG=，
∴AG=，
∵∠EAD=45°，
∴GH=，
∵tan∠ACD==，∠GAP=∠ACD，
∴tan∠GAP=，
∴=，
即=，
解得PG=，
∴PH=PG-GH=-=，
即PH=．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度較大．