Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD的長為4，S_梯形ABCD=9，已知點A、B的坐標分別為（1，0）和（2，-3）．
（1）求點C的坐標；
（2）取點E（2，-1），連接DE并延長交AB于F，試猜想DF與AB之間的位置關系，并證明你的結論；
（3）將梯形ABCD繞點A旋轉180°后成梯形AB'C'D'，畫出梯形AB'C'D'．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)梯形的面積公式可得BC的長，易得點C的坐標；
（2）利用邊角邊定理可得△DHE≌△BHA，那么∠HDE=∠HBA，進而可得∠HDE+∠HAB=90°，那么DF⊥AB．
（3）分別作出B，C，D三點關于點A的對稱點，順次連接點A，B′，C′，D′即可．

解答：解：（1）∵S_梯形ABCD=

1

2

（BC+AD）×3=

1

2

（BC+4）×3=9，
∴BC=2，
∴點C的坐標為（4，-3）．

（2）猜想：DF⊥AB．
證明如下：連接BE并延長交x軸于點H．
∵B、E坐標分別為（2，-3）、（2，-1），
∴BH⊥x軸，H（2，0）．
∴AH=HE=1，∠DHE=∠BHA，
DH=BH=3，
∴△DHE≌△BHA，
∴∠HDE=∠HBA．
又∵∠HBA+∠HAB=90°，
∴∠HDE+∠HAB=90°，
∴DF⊥AB．

（3）如圖，梯形ABCD繞點A旋轉180°后成梯形AB′C′D′．

點評：考查有關旋轉變換的問題；利用三角形全等得到角相等，判斷垂直是解決垂直問題常用的方法．