Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等腰三角形，OB=AB，∠OBA=120°，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)A在第一象限．點(diǎn)R是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接BR，并把△BOR繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊BO與BA重合，得到△BAQ．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)R運(yùn)動到點(diǎn)（

2 3

3

，0）時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)，請直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；
（4）是否存在點(diǎn)R，使△ORQ的面積等于

3

2

？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過A點(diǎn)作x軸、y軸的垂線AE、AF，解直角三角形求AE、AF即可．
（2）過點(diǎn)Q作AE的垂線交EA的延長線于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)N．依題意得∠BAE=60°，∠QAH=30°．解Rt△AHQ得AH、QH，再利用A點(diǎn)的坐標(biāo)求QN，HE，即為Q點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)；
（3）此時(shí)點(diǎn)R在x軸的負(fù)半軸，∠OBQ=60°，則∠RBO=60°，已知OB=4，解Rt△OBR可求OR，再表示R點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（t，0），根據(jù)t＞0，-4

3

≤t≤0，t＜-4

3

，分別求解．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，作AF⊥y軸于點(diǎn)F，

則AF=AB•sin∠ABF=2

3

，
BF=AB•cos∠ABF=2，
∴AE=OF=4+2=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2

3

，6）．

（2）如圖2，

∵△BAQ由△BOR旋轉(zhuǎn)得到，∴△BAQ≌△BOR．
∴AQ=OR=

2

3

3

，∠BAQ=∠BOR=90°．
過點(diǎn)Q作AE的垂線交EA的延長線于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)N，
則∠BAE=60°，∠QAH=30°．
在Rt△AHQ中，AH=AQ•cos30°=1，QH=AQ•sin30°=

3

3

．
∴QN=2

3

-

3

3

=

5

3

3

，HE=6+1=7．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

5

3

3

，7）．
（3）此時(shí)點(diǎn)R在x軸的負(fù)半軸，
∠OBQ=60°，則∠RBO=60°，
已知OB=4，
在Rt△OBR中：OR=4

3

，
∴點(diǎn)R（-4

3

，0）．
（4）假設(shè)存在點(diǎn)R，在它的運(yùn)動過程中，使△ORQ的面積等于

3

2

．設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（t，0），下面分三種情況討論．
①當(dāng)t＞0時(shí)，如圖3，

AQ=OR=t，AH=

3

2

t，HE=

3

2

t+6，

∴

1

2

t(

3

2

t+6)=

3

2

解得t1=

14

-2

3

，t2=-

14

-2

3

（舍去）．

②當(dāng)-4

3

＜t≤0時(shí)，如圖4，

AQ=OR=-t，AH=-

3

2

t，HE=6-(-

3

2

t)=6+

3

2

t．
∴-

1

2

t(6+

3

2

t)=

3

2

解得t1=

10

-2

3

，t2=-

10

-2

3

．
③當(dāng)t＜-4

3

時(shí)，如圖5，

AQ=OR=-t，AH=-

3

2

t，HE=-

3

2

t-6．
∴-

1

2

t(-

3

2

t-6)=

3

2

解得t1=

14

-2

3

（舍去），t2=-

14

-2

3

．
∴符合條件的點(diǎn)R的坐標(biāo)為（

14

-2

3

，0）或（

10

-2

3

，0）或（-

10

-2

3

，0）或（-

14

-2

3

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求解方法，綜合運(yùn)用了解直角三角形的知識．