Question

如圖，將兩塊全等的等腰直角△ABC和△A′B′C′（其中∠C=∠C′=90°）的三角板疊放在一起，使點C′在AB的中點上，固定△ABC，將△A′B′C′繞著點C′旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)點C在A′B′上時（如圖①），求證：兩塊三角板重疊部分（即陰影部分）的四邊形ECFC′是正方形；
（2）將圖①中的△A′B′C′繞著點C′逆時針旋轉(zhuǎn)某一角度后（例如圖②），點C能否還在A′B′上？試說明理由．

Answer 1

解：（1）連接CC′．
∵C′是AB的中點，
∴CC′⊥AB，且CC′=AB；
∵△A′B′C′≌△ABC，
∴CC′⊥A′B′，且CC′=A′B′，
∴A′B′∥AB，∠A=∠B′CE=45°（4分），
∴∠C′CE=45°，從而∠CC′E=∠C′CF=∠CC′F=45°，CE=C′E=C′F=CF=CC′（6分），
∴四邊形ECFC′是菱形，
又∠FCE=90°，
∴四邊形ECFC′是正方形（7分）；

（2）不能（8分），問題中“△A′B′C′繞著點C′逆時針旋轉(zhuǎn)某一角度”相當(dāng)于“CC′繞點C′順時針旋轉(zhuǎn)某一角度”，由于三角形的高最短且唯一，垂線段（三角形的高）最短，所以C將不再在A′B′上（9分）．
分析：（1）連接CC′．由△A′B′C′≌△ABC證明CC′⊥A′B′且CC′⊥A′B′；根據(jù)C′是AB的中點來證明CC′⊥AB，且CC′=AB；從而求得A′B′∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠CC′E=∠C′CF=∠CC′F=45°，所以四邊形ECFC′是菱形，又因為∠FCE=90°，所以四邊形ECFC′是正方形；
（2）不能．將問題轉(zhuǎn)化為CC′繞點C′順時針旋轉(zhuǎn)某一角度．
點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)．解答此題時，采用了“轉(zhuǎn)化的思想”數(shù)學(xué)思想，即將（2）中的問題轉(zhuǎn)化為CC′繞點C′順時針旋轉(zhuǎn)某一角度，然后利用“兩點間垂線段最短的”幾何知識來解答問題．