Question

在矩形ABCD中，AB=3，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，直線l過(guò)點(diǎn)P，且與AC垂直交AD邊于點(diǎn)E．
（1）如圖1，若直線l過(guò)點(diǎn)B，把△ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對(duì)稱中心O重合，求BC的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若直線l與AB相交于點(diǎn)F且AP=AC，設(shè)AD的長(zhǎng)為x，五邊形BCDEF的面積為S，
①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②探索：是否存在這樣的x，使得以A為圓心，以x-長(zhǎng)為半徑的圓與直線l相切？若存在，請(qǐng)求出x的值若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AC=2AB，進(jìn)而利用勾股定理求解即可．
（2）①五邊形的面積=矩形的面積-S_△AEF，利用相似可求得AE，AF的長(zhǎng)度．
②圓與直線l相切，半徑x-應(yīng)等于AO長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵O是矩形ABCD的對(duì)稱中心，
∴OB=AO=AC（1分）
又∵AB=OB，AB=3，
AC=6，（1分）
在Rt△ABC中BC²=AC²-AB²
∴．（2分）

（2）①在Rt△ADC中
∵AD=x，AB=3，
∴．（1分）
∵AP=（1分）
易證△APF∽△ABC，=，
，（1分）
同理可得 ，（1分）
∴=，
∴，
即：（ ）．
②若圓A與直線l相切，
則 ，（1分）
15x²-24x=0，x₁=0（舍去），．（1分）
∵，
∴不存在這樣的x，使圓A與直線l相切．（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的知識(shí)，同時(shí)涉及了矩形和切線的性質(zhì)，注意掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；圓與直線相切，半徑等于圓心到直線的距離．