Question

17、如圖，已知直徑與等邊三角形ABC的高相等的圓AB和BC邊相切于點(diǎn)D和E，與AC邊相交于點(diǎn)F和G，求∠DEF的度數(shù)．

Answer 1

分析：先過點(diǎn)E作BC的垂線與圓交于點(diǎn)H，與AC交于點(diǎn)O，連接AH和DH，作AM⊥BC，垂足為M，再根據(jù)切線的判定和性質(zhì)得，△DBE是正三角形，從而得出四邊形AMEH是矩形，由矩形的性質(zhì)和切線長定理求出∠OEF=75°，∠DEO=∠EOC=30°，從而得出∠DEF的度數(shù)．

解答：解：過點(diǎn)E作BC的垂線與圓交于點(diǎn)H，與AC交于點(diǎn)O．
連接AH和DH，作AM⊥BC，垂足為M．
∵E為切點(diǎn)，∴EH必過圓心，即EH是直徑，
∴DH⊥DE，
∵D、E是切點(diǎn)，∴BD=BE，
∵∠B=60°，∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE=∠BAC=60°，
∴DE∥AC，DH⊥AC，
由已知得，AM=EH，又AM∥EH，∴四邊形AMEH是矩形，
∴AH⊥HE，即AH是切線，
∴AD=AH，AC垂直平分DH，AC必過圓心，
∴AC與EH的交點(diǎn)O是圓心，
∴OE=OF，
∵∠COE=90°-∠C=30°，∴∠OEF=75°，
∵∠DEO=∠EOC=30°，
∴∠DEF=30°+75°=105°

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線長定理、矩形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．