Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，將腰DA以A為旋轉中心逆時針旋轉90°至AE，連接BE，DE，△ABE的面積為3，則CD的長為

 

．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,直角梯形

專題：

分析：過點E作EF⊥AB交BA的延長線于F，作AG⊥CD于G，根三角形的面積求出EF=3，根據旋轉的性質可得AD=AE，∠DAE=90°，然后求出∠DAG=∠EAF，再利用“角角邊”證明△AEF和△ADG全等，根據全等三角形對應邊相等可得DG=EF，再根據CD=CG+DG代入數據計算即可得解．

解答：解：如圖，過點E作EF⊥AB交BA的延長線于F，作AG⊥CD于G，
S_△ABE=

1

2

AB•EF=

1

2

×2EF=3，
解得EF=3，
∵AB∥CD，AB⊥BC，
∴四邊形ABCG是矩形，
∴CG=AB=2，
∴DA以A為旋轉中心逆時針旋轉90°至AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠EAF+∠DAF=90°，
又∵∠DAG+∠DAF=90°，
∴∠DAG=∠EAF，
在△AEF和△ADG中，

∠DAG=∠EAF ∠AGD=∠F=90° AD=AE

，
∴△AEF≌△ADG（AAS），
∴DG=EF，
∴CD=CG+DG=2+3=5．
故答案為：5．

點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，直角梯形，熟記各性質與三角形全等的判定方法是解題的關鍵，難點在于作輔助線構造出全等三角形．