Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A，D不重合），一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊AB交于點(diǎn)E，我們知道，結(jié)論“Rt△AEP∽R(shí)t△DPC”成立．
（1）當(dāng)∠CPD=30°時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的2倍？若存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠CPD與∠AEP同為∠APE的余角，因此當(dāng)∠DPC=30°時(shí)，∠AEP=30°．可在Rt△CPD中，根據(jù)∠CPD的度數(shù)和CD的長(zhǎng)，求出PD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AP的值．同理可在Rt△APE中，求出AE的長(zhǎng)．
（2）由于Rt△AEP∽R(shí)t△DPC，當(dāng)△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的2倍時(shí)，兩個(gè)三角形的相似比為1：2，即===2，根據(jù)CD=AB=4，可求出PD的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，
∴當(dāng)∠CPD=30°時(shí)，∠AEP=30°．
在Rt△CPD中，CD=AB=4，∠CPD=30°，因此PD=CD•cot30°=4，
∴AP=AD-PD=10-4．
在Rt△APE中，AP=10-4，∠AEP=30°，因此AE=AP•cot30°=10-12．

（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，
∵Rt△AEP∽R(shí)t△DPC，
∴==2．
∵CD=AB=4，
∴AP=2，PD=8，
∴存在這樣的P點(diǎn)，且DP長(zhǎng)為8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形和直角三角形的性質(zhì)，屬中學(xué)階段的常規(guī)題．