Question

如圖1，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)P，E為BC的中點(diǎn)，過E點(diǎn)的圓O與BD相切于點(diǎn)P，圓O與直線AC，BC分別交于點(diǎn)F，G．
（1）求證：△PCD∽△EPF；
（2）如果AB=AD，AC=6，BD=8（如圖2）．求圓O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由弦切角定理得，∠DPC=∠PEF，由平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)得PE∥CD，已知了∠CPE=∠PCD，可證得△PCD∽△EPF．
（2）由AB=AD，可證得平行四邊形ABCD是菱形，則它的對(duì)角線互相垂直平分；根據(jù)勾股定理可求出菱形的邊長(zhǎng)．由于E是BC中點(diǎn)，可求得BE、EC的長(zhǎng)，再根據(jù)切割線定理，可求出BG的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出CG的長(zhǎng)．在⊙O中，根據(jù)相交弦定理，可得PC•CF=EC•CG，其中PC、EC、CG的長(zhǎng)已求得，由此可求出CF的長(zhǎng)．也就求出了PF即圓的直徑．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BP=DP，
又∵BE=CE，
∴PE∥DC，
∴∠CPE=∠PCD，
∵BD切⊙O于P，
∴∠DPC=∠PEF，
∴△PCD∽△EPF；

（2）解：∵平行四邊形ABCD中，AB=AD，
∴平行四邊形ABCD為菱形．
∴AC⊥BD，PB=，
BD=×8=4，PC=，
AC=×6=3，
∴BC=5，
∴BE=CE=，
∵⊙O切BD于P，AC⊥BD，
∴PF為⊙O的直徑，
∵PE²=BE•BG，
∴，
∴，
∴OG=BG-BC=，
∵PC•CF=EC•CG，
∴，
∴，
∴⊙O的直徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合利用了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，切割線定理，圓周角定理，相交弦定理求解．