Question

已知如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=3，以BC邊上點O為圓心，以OB為半徑的圓分別交邊AB、BC于點M、N．連接MN．
（1）請你探究：四條線段AB、BM、BC、BN之間的關系，并證明你的結論；
（2）若M是AB邊的中點，請你判斷CM與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）設⊙O的半徑為r，若改變點O在BC上的位置，試探究當半徑r滿足什么條件時，⊙O與邊AC只有一個公共點．（直接寫出答案）

Answer 1

解：（1）=
∵BN是直徑，
∴∠NMB=90°∠ACB=90°
∴∠NMB=∠ACB，∠B=∠B
∴△BMN∽△BCA
∴=；

（2）連接OM
在Rt△ACB中，tanB==
∴∠B=30°
∴∠A=90°-30°=60°
∵M是AB的中點
∴MC=MA=AB
∴△ACM是等邊三角形
∴∠CMA=60°
∴∠OMB=∠B=30°
∴∠CMO=180°-60°-30°=90°
∴OM⊥CM
∴CM是⊙O的切線；

（3）≤r≤2
分析：（1）根據已知利用有兩組角相等的兩個三角形相似得到△BMN∽△BCA，從而不難得到四個邊之間的關系；
（2）連接OM，根據已知利用三角函數可得到△ACM是等邊三角形，進而可推出OM⊥CM，因為OM是圓的半徑，所以CM與⊙O相切；
（3）當圓以BC的一半為半徑或與邊AC相切時，⊙O與邊AC只有一個公共點．
點評：此題主要考查學生對切線的判定，相似三角形的判定及圓與直線的位置關系等知識點的綜合運用能力．