Question

（2012•株洲）如圖，一次函數(shù)y=-

1

2

x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N．求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）本問(wèn)要點(diǎn)是求得線段MN的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式是關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大值；
（3）本問(wèn)要點(diǎn)是明確D點(diǎn)的可能位置有三種情形，如答圖2所示，不要遺漏．其中D₁、D₂在y軸上，利用線段數(shù)量關(guān)系容易求得坐標(biāo)；D₃點(diǎn)在第一象限，是直線D₁N和D₂M的交點(diǎn)，利用直線解析式求得交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=-

1

2

x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，
∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，2），B（4，0）…（1分）
將x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得c=2…（2分）
將x=4，y=0代入y=-x²+bx+c得0=-16+4b+2，解得b=

7

2

，
∴拋物線解析式為：y=-x²+

7

2

x+2…（3分）

（2）如答圖1，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E，
則E（t，0），BE=4-t．
∵tan∠ABO=

OA

OB

=

2

4

=

1

2

，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4-t）×

1

2

=2-

1

2

t．
又N點(diǎn)在拋物線上，且x_N=t，∴y_N=-t²+

7

2

t+2，
∴MN=y_N-ME=-t²+

7

2

t+2-（2-

1

2

t）=-t²+4t…（5分）
∴當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4…（6分）

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，D點(diǎn)的可能位置有三種情形，如答圖2所示．…（7分）
（i）當(dāng)D在y軸上時(shí)，設(shè)D的坐標(biāo)為（0，a）
由AD=MN，得|a-2|=4，解得a₁=6，a₂=-2，
從而D為（0，6）或D（0，-2）…（8分）
（ii）當(dāng)D不在y軸上時(shí)，由圖可知D₃為D₁N與D₂M的交點(diǎn)，
易得D₁N的方程為y=-

1

2

x+6，D₂M的方程為y=

3

2

x-2，
由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4）…（9分）
故所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），（0，-2）或（4，4）…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的極值、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形等重要知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，點(diǎn)D的可能位置有三種情形，解題時(shí)容易遺漏而導(dǎo)致失分．作為中考?jí)狠S題，本題有一定的難度，解題時(shí)比較容易下手，區(qū)分度稍低．