Question

已知在2010個(gè)互不相等的有理數(shù)中，每2009個(gè)數(shù)的和都是分母為4022的既約真分?jǐn)?shù)，求這2010個(gè)有理數(shù)的和．

Answer 1

分析：先設(shè)2010個(gè)互不相等的有理數(shù)分別為x₁，x₂，…，x₂₀₁₀，再根據(jù)每2009個(gè)數(shù)的和都是分母為4022的既約真分?jǐn)?shù)得到關(guān)于x的方程組，把方程組中的方程相加即可得到x₁+x₂+…+x₂₀₁₀的值．

解答：解：設(shè)2010個(gè)互不相等的有理數(shù)分別為x₁，x₂，…，x₂₀₁₀，不妨設(shè)

x1+x2+…+x2009= 1 4022 ① x2+x3+…+x2010= 3 4022 ② x3+x4+…+x2010+x1= 5 4022 ③ … x2010+x1+…+x2008= 4021 4022

①+②+③+…+2010，得，
2009（x₁+x₂+…+x₂₀₁₀）=

1+3+5+…+2009+2013+…+4021

4022

，
=

1

4022

[

(1+4021)×2011

2

-2011]=

1

4022

（2011×2011-2011），
=

1

4022

×2011（2011-1）=1005，
∴x₁+x₂+…+x₂₀₁₀=

1005

2009

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是整數(shù)問(wèn)題的綜合運(yùn)用，根據(jù)題意設(shè)出所求的2010個(gè)互不相等的有理數(shù)，再得到關(guān)于x的方程組是解答此題的關(guān)鍵．