Question

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該積極地參加到現(xiàn)實(shí)的、探索的數(shù)學(xué)活動中去，努力地成為學(xué)習(xí)的主人．下面，請你探究：隨著P點(diǎn)位置的變化，∠BPC與∠A的大小關(guān)系．（1）、（2）問用“＞”表示其關(guān)系，（3）、（4）、（5）用“=”表示其關(guān)系．
1如圖（1），點(diǎn)P在AC上（不同于A、C兩點(diǎn)），∠BPC與∠A的關(guān)系是

 

，用一句話說出你判斷的依據(jù)

 

；
②如圖（2），點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，∠BPC與∠A的關(guān)系是

 

；
③如圖（3），點(diǎn)P是∠ABC、∠ACB平分線的交點(diǎn)，此時∠BPC與∠A的關(guān)系是

 

；
④如圖（4），點(diǎn)P是∠ABC平分線和∠ACB外角平分線的交點(diǎn)，∠BPC與∠A的關(guān)系是

 

；
⑤如圖（5），點(diǎn)P是∠ABC與∠ACB兩外角平分線的交點(diǎn)，∠BPC與∠A的關(guān)系是

 

；
⑥在上述五種情形中，選擇其中一種情形給予說明理由．
⑦問題解決：
如圖（6），在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P是∠ABC平分線和∠BAC外角平分線的交點(diǎn)，則∠P的度數(shù)為

 

．

Answer 1

分析：由已知，此題是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)判斷分析解答各題的．

解答：解：①∠BPC＞∠A．
②∠BPC＞∠A．
③∠BPC=

1

2

（∠A+180°）．
④∠BPC=

1

2

∠A．
⑤∠BPC=

1

2

（180°-∠A）．
⑥第①題，∠BPC＞∠A．
∵如圖（1）∠BPC是△APB的外角，
∴∠BPC=∠A+∠ABP．（三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和）
所以∠BPC＞∠A．
故答案為：∠BPC＞∠A，三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
⑦已知點(diǎn)P是∠ABC平分線和∠BAC外角平分線的交點(diǎn)，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（角平分線的性質(zhì)）
∠1+∠2是△ABC的外角，
∴∠1+∠2=∠C+∠3+∠4（三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
∴2∠2=90°+2∠3（等量代換）
∴∠2=45°+∠3--------①
如圖∠2為△APB的外角，
∴∠2=∠P+∠3----------②（三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
①②等量代換得：
∠P+∠3=45°+∠3，
所以，∠P=45°．
故答案為：45°．

點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)判斷分析解答．