Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，以點C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求證：點F是AD的中點；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半徑CD的長．

Answer 1

考點：

相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；解直角三角形．

分析：

（1）由AD是△ABC的角平分線，∠B=∠CAE，易證得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得EF⊥AD，由三線合一的知識，即可判定點F是AD的中點；

（2）首先連接DM，設(shè)EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的長，繼而求得DM與ME的長，由余弦的定義，即可求得答案；

（3）易證得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得方程：（5k）²=k•（10+5k），解此方程即可求得答案．

解答：

（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠1=∠2，

∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，

∴∠ADE=∠DAE，

∴ED=EA，

∵ED為⊙O直徑，

∴∠DFE=90°，

∴EF⊥AD，

∴點F是AD的中點；

（2）解：連接DM，

設(shè)EF=4k，df=3k，

則ED==5k，

∵AD•EF=AE•DM，

∴DM===k，

∴ME==k，

∴cos∠AED==；

（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC為公共角，

∴△AEC∽△BEA，

∴AE：BE=CE：AE，

∴AE²=CE•BE，

∴（5k）²=k•（10+5k），

∵k＞0，

∴k=2，

∴CD=k=5．

點評：

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．