Question

已知，如圖，E、F分別為△ABC的邊BC、CA的中點(diǎn)，延長(zhǎng)EF到D，使得DF=EF，連接DA，DC，AE．
（1）求證：四邊形ABED是平行四邊形；
（2）若AB=AC，試證明四邊形AECD是矩形．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：EF是△ABC的中位線，則可得EF∥AB，EF=

1

2

AB，又由DF=EF，易得AB=DE，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形ABED是平行四邊形；
（2）由（1）可得四邊形AECD是平行四邊形，又由AB=AC，AB=DE，易得AC=DE，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，可得四邊形AECD是矩形．

解答：證明：（1）∵E、F分別為△ABC的邊BC、CA的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB，（2分）
∵DF=EF，
∴EF=

1

2

DE，（3分）
∴AB=DE，（4分）
∴四邊形ABED是平行四邊形；（5分）

（2）∵DF=EF，AF=CF，
∴四邊形AECD是平行四邊形，（6分）
∵AB=AC，AB=DE，
∴AC=DE，（7分）
∴四邊形AECD是矩形．（8分）

或∵DF=EF，AF=CF，
∴四邊形AECD是平行四邊形，（6分）
∵AB=AC，BE=EC，
∴∠AEC=90°，（7分）
∴四邊形AECD是矩形．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定（有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）、矩形的判定（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）以及三角形中位線的性質(zhì)（三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半）．解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析圖形，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．