Question

已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．將一塊足夠大的三角尺MNB的30°角頂點與四邊形頂點B重合，當三角尺的30°角（∠MBN）繞著點B旋轉時，它的兩邊分別交邊AD，DC所在直線于E，F(xiàn)．
（1）當∠MBN繞B點旋轉到AE=CF時（如題圖1），請直接寫出AE，CF，EF之間的數(shù)量關系．
（2）當∠MBN繞B點旋轉到AE≠CF時（如題圖2），（1）中的結論是否仍成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并說明理由．
（3）當∠MBN繞B點旋轉到AE≠CF時（如題圖3和題圖4），請分別直接寫出線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關系．

Answer 1

解：（1）AE+CF=EF；

（2）成立．
理由是：延長EA到G，使AG=FC，
∵GA=FC，∠GAB=∠FCB=90°，AB=CB，
∴△GAB≌△FCB（SAS），
∴∠GBA=∠FBC，GB=FB，AG=CF，
∵∠FBC+∠FBA=60°，
∴∠GBA+∠FBA=60°，
即：∠GBF=60°
∵∠EBF=30°，
∴∠GBE=30°，
∵GB=FB，∠GBE=∠FBE，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE，
∴GE=FE
∵GE=AG+AE，
∴EF=AE+CF；

（3）圖3：AE-CF=EF；圖4：AE+EF=CF．
分析：（1）AE+CF=EF，證法與（2）相同；
（2）延長EA到G，使AG=FC，證△GAB≌△FCB，推出∠GBA=∠FBC，GB=FB，AG=CF，求出∠GBE=30°，證△GBE和△FBE全等即可；
（3）在AE上取AM=CF，證△ABM和△BCF全等，證△BME和△BFE全等即可；圖4與圖3證法類似．
點評：本題主要考查對全等三角形的性質和判定的理解和掌握，能熟練地運用性質進行推理是解此題的關鍵．